Mecánica cuántica relativista

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POSTULADOS DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD

Einstein propuso dos postulados en su Teoría Especial de la Relatividad, publicada en 1905, que aplicó a todos los sistemas físicos, tanto mecánicos como electromagnéticos.

El primero dice que “un observador inercial no puede distinguir el estado de reposo del movimiento rectilíneo y uniforme” y es una generalización del Principio de la Relatividad de Galileo para la cinemática. Los observadores inerciales o los sistemas inerciales son los que no se mueven uno respecto del otro o bien lo hacen con movimiento rectilíneo y uniforme. Carecen, por tanto, de aceleración.

El enunciado del segundo postulado es el siguiente: “en todos los sistemas inerciales, la velocidad de la luz es una constante, y no depende ni del movimiento del foco luminoso ni del observador”.

De estos dos postulados, en apariencia sencillos, se derivan unas consecuencias muy importantes que cambiaron la física del siglo XX.

CONSECUENCIAS

Para entender cómo afectan las consideraciones relativistas a las partículas fundamentales es necesario profundizar un poco más en las consecuencias de la teoría.

En primer lugar, para que la velocidad de la luz (c) sea una constante universal debemos asumir que cada observador mide o “siente” un tiempo propio, de modo que si se mueve en la misma dirección del rayo luminoso el tiempo se “dilata” y cuando se mueve en dirección opuesta, su tiempo propio se “acorta” proporcionalmente a su velocidad, de manera que, al calcular c, cada observador obtiene el mismo resultado.
Según ello, cada uno de nosotros tenemos también un tiempo propio. Pero, como las velocidades con que nos desplazamos son muy pequeñas, comparadas con c, nuestro tiempo propio es el mismo. De ahí que la física clásica tuviese el tiempo como una magnitud absoluta.

Ya atisbamos algunas peculiaridades en el mundo subatómico, pues las partículas elementales se mueven a gran velocidad y sus tiempos propios habrán de ser diferentes. Además, la verificación de este hecho constituye una de las pruebas más sólidas de la validez de la Teoría de la Relatividad.

Por ejemplo, cuando se determina la vida media de un mesón pi (o pión) en experimentos de laboratorio de altas energías se obtienen valores en torno a los microsegundos (millonésimas de segundo). Sin embargo, sabemos que su vida media es una cien veces inferior, es decir, poco más de 10^-8 s. La velocidad de los mesones en los experimentos es muy elevada, cercana a la de la luz. Si se aplican las ecuaciones relativistas, deducidas de los postulados, y se calcula el tiempo propio de dichas partículas, los resultados coinciden con los experimentales. Por consiguiente, nosotros detectamos que los mesones alargan su vida cuando viajan a altas velocidades en el acelerador. Evidentemente, sólo nos lo parece así a nosotros. El mesón “no advierte” que su vida se alarga. Para él, su tiempo no ha cambiado. Parece una paradoja, pero los datos la confirman. De hecho, serán capaces de recorrer mucha mayor distancia en los aceleradores sin desintegrarse. Si el tiempo fuera absoluto y no dependiera de la velocidad del mesón, éste siempre recorrería unos pocos centímetros antes de desaparecer. Sin embargo, a altas energías, los mesones pueden recorrer más de un kilómetro.

El tratamiento matemático que propuso Einstein para modificar las coordenadas de las partículas relativistas exige una especial transformación, desarrollada previamente por Lorente, en las coordenadas de un observador que se mueva a una cierta velocidad con respecto a otro en reposo.

Mediante dichas ecuaciones de Lorentz, si hacemos la velocidad del observador muy pequeña con respecto a c, pueden deducirse las leyes de la física newtoniana sobre adición de velocidades. Podemos afirmar que la mecánica newtoniana es un caso límite y, por tanto, se halla contenida en la mecánica relativista. Además, dichas transformaciones tienen importantes consecuencias. Por ejemplo, los sucesos simultáneos para un observador no lo son para otro que se mueva respecto al primero, puesto que el tiempo de un sistema en movimiento aparentemente se dilata si lo comparamos con el tiempo propio de un sistema en reposo.

Sin embargo, no sólo repercuten en el tiempo los efectos relativistas. El planteamiento matemático comienza por definir un espacio de cuatro dimensiones, el denominado “espacio de Minkowski”, añadiendo el tiempo a las tres dimensiones espaciales clásicas. Por ello, las longitudes de los objetos en la dirección del movimiento parecen disminuir respecto a sus longitudes en reposo. Esto se conoce como “contracción de Lorentz-Fitzgerald”, porque fue este último quien primero lo propuso como hipótesis a raíz del experimento de Michelson y Morley.

Vemos que el cambio teórico fue grande y, a pesar de todo lo anteriormente dicho, en mi opinión aún no hemos comentado el asunto que más afecta al mundo subatómico. Me refiero al aumento de masa al crecer la velocidad de la partícula, otra consecuencia directa de la teoría de la relatividad.

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento, que, como sabemos, es una ley inquebrantable de la física, Einstein dedujo que la masa de una partícula en movimiento depende de su velocidad de acuerdo con la expresión

m = mo γ

donde mo es la masa de la partícula en reposo y γ es el factor que aparecía en las transformaciones de Lorentz y cuyo valor es siempre mayor o igual a 1. Es decir, se acerca a la unidad conforme la velocidad se hace menor. En los objetos macroscópicos, γ = 1, por lo que su masa en movimiento coincide con la masa en reposo, como estamos acostumbrados a observar.

EQUIVALENCIA MASA-ENERGÍA

Según la ecuación anterior, cuando una partícula gana velocidad y, en consecuencia, aumenta su masa, debería ser cada vez más grande. En cambio, lo que sucede, como puede derivarse de dicha fórmula y de la expresión clásica de la energía cinética, es que el incremento de masa que experimenta la partícula se acumula en forma de energía cinética relativista, cuya expresión es: Ec = Δm c^2, siendo Δm el aumento de masa debido a la velocidad.

Esa fórmula relaciona la masa y la energía cinética de una partícula relativista. Pero, podemos hallar otra relación similar entre la energía total de dicha partícula y su masa. Es la consecuencia más conocida de la teoría de Einstein, la equivalencia masa-energía. Es sencillo deducir, desde la fórmula de la energía cinética, la siguiente ecuación: E = m c^2, donde E es la energía total relativista y m es la masa de la partícula en movimiento.

Dicha ecuación, quizá la fórmula más popular de la física, se deduce a partir de la fórmula de la energía cinética relativista de una partícula de masa en reposo mo:
Ec = Δm c^2
Ec = (m - mo) c^2
Ec = m c^2 - mo c^2
El término mo c^2 es la energía en reposo de la partícula, la que se asocia con su masa en reposo, que designaremos por Eo.

Por lo tanto, Ec = m c^2 – Eo.
De donde: m c^2 = Ec + Eo.
El término m c^2 representa la suma de la energía cinética relativista de una partícula y su energía en reposo, y constituirá justamente la energía relativista total que buscamos y que designaremos por E. O sea,
E = Ec + Eo = m c^2,
constituye la famosa ecuación de Einstein tantas veces utilizada en la física de partículas y en las reacciones nucleares.

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